EJERCICIOS

Identidades trigonométricas

Recuerda el TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA:

${\color{red} sen ^{2} \alpha \: +\: cos^{2}\alpha \: =\: 1}$

Y las siguientes definiciones:

${\color{blue}tg\:\alpha=\frac{sen\:\alpha}{cos\:\alpha}}$	${\color{blue}cot\:\alpha=\frac{cos\:\alpha}{sen\: \alpha}}$
${\color{green} sec\:\alpha =\frac{1 }{cos\:\alpha }}$	${\color{green} cosec\: \alpha =\frac{1 }{sen\:\alpha }}$

Con estas cinco fórmulas y un poco de destreza en el cálculo, serás capaz de demostrar las identidades propuestas.

Ejemplos.-

En los siguientes ejemplos he resaltado con el color correspondiente cada una de las fórmulas utilizadas en la resolución.

1.-

$cosec\:\alpha \cdot cos\:\alpha \:=\:cotg\:\alpha$

${\color{green} \frac{1}{sen\alpha }}\cdot cos\alpha =\frac{cos\alpha }{sen\alpha }={\color{blue} cotg\alpha}$

2.-

$cosec\:\alpha \cdot tg\:\alpha =\:sec\:\alpha$

${\color{green} \frac{1}{sen\:\alpha }}\cdot {\color{blue} \frac{sen\alpha }{cos\alpha }}\:=\:\frac{1}{cos\alpha }\:=\:{\color{green} sec\:\alpha }$

3.-

$1\:+\:tg^{2}(-\alpha )\:=\:sec^{2}\alpha$

(Recuerda que $tg(-\alpha )\:=\:-\:tg\alpha$ )

$1\:+\:tg^{2}(-\alpha )\:=\:1\:+\:(-tg\alpha )^{2}\:=\:1\:+tg^{2}\alpha\:=\:1\:+\:{\color{blue} \frac{sen^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }}\:=$

$=\:\frac{{\color{red}cos^{2}\alpha +sen^{2}\alpha }}{cos^{2}\alpha }=\frac{{\color{red} 1}}{cos^{2}\alpha }={\color{green} sec^{2}\alpha }$

9.-

$\left ( sec\:\alpha -1 \right )\left ( sec\:\alpha +1 \right )=tg^{2}\alpha$

$sec^{2}\alpha -1={\color{green} \frac{1}{cos^{2}\alpha }}-1=\frac{1-cos^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }=$

$=\frac{{\color{red} sen^{2}\alpha }}{cos^{2}\alpha }=\left ( \frac{sen\alpha }{cos\alpha } \right )^{2}={\color{blue} tg^{2}\alpha }$

11.-

$\left ( sec\:\alpha +tg\: \alpha \right )\left ( sec\:\alpha -tg\: \alpha \right )=1$

$sec^{2}\alpha -tg^{2}\alpha ={\color{green} \frac{1}{cos^{2}\alpha }}-{\color{blue} \frac{sen^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }}=$

$=\frac{1-sen^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }=\frac{{\color{red} cos^{2}\alpha }}{cos^{2}\alpha }=1$

37.-

$tg\:\alpha +\frac{cos\:\alpha }{1+sen\:\alpha }=sec\:\alpha$

${\color{blue} \frac{sen\alpha }{cos\alpha }}+\frac{cos\alpha }{1+sen\alpha }=\frac{sen\alpha \left ( 1+sen\alpha \right )+cos^{2}\alpha }{cos\alpha \left ( 1+sen\alpha \right )}=$

$=\frac{sen\alpha +{\color{red} sen^{2}\alpha +cos^{2}\alpha }}{cos\alpha \left ( 1+sen\alpha \right )}=\frac{sen\alpha +{\color{red} 1}}{cos\alpha \left ( 1+sen\alpha \right )}=\frac{1}{cos\alpha }={\color{green} sec\:\alpha }$

48.-

$\large tg\:\alpha +cotg\:\alpha =sec\:\alpha\cdot cosec\:\alpha$

$tg\:\alpha+cotg\:\alpha={\color{blue} \frac{sen\:\alpha}{cos\:\alpha}}+{\color{blue} \frac{cos\:\alpha}{sen\:\alpha}}=$

$=\frac{\color{red} {sen^{2}\alpha +cos^{2}\alpha }}{cos\:\alpha\cdot sen\:\alpha}=\frac{{\color{red} 1}}{cos\:\alpha\cdot sen\:\alpha}=\frac{1}{cos\:\alpha}\cdot \frac{1}{sen\:\alpha}={\color{green} sec\:\alpha}\cdot {\color{green} cosec\:\alpha}$

He escaneado unas hojas de mi "cuaderno de campo", que más adelante pondré "en bonito".

De momento, las puedes ver desde los enlaces de la columna izquierda.

Los números de los ejemplos coinciden con los de las hojas.

Orxeta 649798266