ECUACIONES

Ecuaciones trigonométricas

En estos ejemplos he resaltado en verde el hecho de que toda solución de una ecuación trigonométrica es válida para cualquier ángulo que resulte de sumar al valor obtenido un múltiplo entero de 360º.

${\color{green}\left ( \: +\: 360^{o}\cdot k,\; k\in Z \right )}$

Ejemplos.-

1.- ${\color{blue} 2sen\: x+1=cosec\: x}$

$2sen\: x+1=\frac{1}{sen\: x}$

$2sen^{2}x+sen\: x=1$

$2sen^{2}x+sen\: x-1=0$

$sen\: x=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{4}=\frac{-1\pm 3}{4}= \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\\ -1\end{matrix}\right.$

$senx=\frac{1}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}{\color{red} x_{1}=30^{o}}{\color{green}\: +\: 360^{o}\cdot k, \; k\in Z}\\ {\color{red}x_{2}=150^{o}}{\color{green}\: +\: 360^{o}\cdot k, \; k\in Z}\end{matrix}\right.$

$sen\: x=-1\Rightarrow {\color{red}x_{3}=270^{o}}{\color{green} \: +\: 360^{o}\cdot k,\; k\in Z}$

2.- ${\color{blue} 3cos\: x=2sec\: x-5}$

$3cos\: x=\frac{2}{cos\: x}-5$

$3cos^{2}\: x=2-5cos\: x$

$3cos^{2}\: x+5cos\: x-2=0$

$cos\:x=\frac{-5\pm \sqrt{25+24}}{6}=\frac{-5\pm 7}{6}=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{3} \\ -2\; \end{matrix}\right.$

La solución -2 no es válida pues, como sabes, ${\color{green} -1\leq cos\: x\leq +1}$

$x=arc\: cos\frac{1}{3}\Rightarrow {\color{red} \left\{\begin{matrix}x_{1}=70'53^{o}{\color{green}\:\left ( \: +\: 360^{o}\cdot k,\; k\in Z \right )} \\ x_{2}=289'47^{o}{\color{green}\left ( \: +\: 360^{o}\cdot k,\; k\in Z \right )}\end{matrix}\right.}$

3.- ${\color{blue} sen\: 2x-cos\: x=0}$

$2senx\, cos\, x-cos\, x=0$

$cos\, x\left ( 2sen\, x-1 \right )=0$

$cos\, x=0 \Rightarrow {\color{red} \left\{\begin{matrix}x_{1}=90^{o}{\color{green}\:\left ( \: +\: 360^{o}\cdot k,\; k\in Z \right )} \\ x_{2}=270^{o}{\color{green}\:\left ( \: +\: 360^{o}\cdot k,\; k\in Z \right )}\end{matrix}\right.}$

$2sen\, x-1=0;\; 2sen\, x=1;\; sen\, x=\frac{1}{2}\Rightarrow \; {\color{red} \left\{\begin{matrix}x_{3}=30^{o}{\color{green}\:\left ( \: +\: 360^{o}\cdot k\right )} \\ x_{4}=150^{o}{\color{green}\:\left ( \: +\: 360^{o}\cdot k\right )}\end{matrix}\right.}$

Mediante los enlaces de la columna de la izquierda se abren hojas con más ejercicios sobre ecuaciones trigonométricas.

Las hojas están en formato PDF.

Orxeta 649798266